【线性代数】四个基本子空间

矩阵A一共对应着4个基本子空间,分别是列空间、行空间、零空间以及左零空间

行空间

设一m行n列实元素矩阵为\\(A\\)(mxn),则其行空间(Row Space)是由矩阵A的所有行向量所生成的\\(R^n\\)上的子空间,记作\\(C(A^{\\mathrm{T}})\\)\\(R(A)\\)。其中,矩阵\\(A^{\\mathrm{T}}\\)是矩阵A的转置。

矩阵A的行空间中的所有向量均为矩阵A的行向量的某种线性组合,都为\\(R^n\\)上的向量(即n维向量)。

矩阵A对应的行空间维度等于矩阵A的行秩,最大为min(m,n)。即:

dim \\(C(A^{\\mathrm{T}})\\) = dim \\(R(A)\\) = rank(\\(A^{\\mathrm{T}}\\)) ≤ min(m,n)

行空间\\(C(A^{\\mathrm{T}})\\)的一组自然基底是矩阵A的行向量的最大线性无关组。

列空间

既然行空间是矩阵A所有行向量的线性组合,那么可以想到A对应的列空间应该是所有列向量的线性组合。

设一m行n列实元素矩阵为\\(A\\)(mxn),则其行空间(Col Space)是由矩阵A的所有列向量生成的\\(R^m\\)上的子空间,记作\\(C(A)\\)

矩阵A的列空间\\(C(A)\\)中的所有向量均为矩阵A中列向量的某种线性组合,都为\\(R^m\\)上的向量(即m维向量)。

\\(C(A)\\)的维度等于矩阵A的列秩,最大为min(m,n)。即:

dim \\(C(A)\\) = rank(\\(A\\)) ≤ min(m,n)

列空间\\(C(A)\\)的一组自然基底是矩阵A的列向量的最大线性无关组。

零空间

在数学中,一个矩阵A的零空间是方程\\(Ax = 0\\)的所有解\\(x\\)的集合。它也叫做A的核, 核空间,记为\\(Null(A)\\)

想像一下,方程\\(Ax = 0\\)的解通常有哪种可能?我想大概分为两种可能:

  1. \\(Null(A)\\)仅有零解
  2. \\(Null(A)\\)包含零解和无穷多个非零解

所以,不管怎么样,\\(Null(A)\\)都至少包含零向量

左零空间

与零空间类似,只不过A的左零空间是方程\\(A^{\\mathrm{T}}x = 0\\)的所有解\\(x\\)的集合。记为\\(Null(A^{\\mathrm{T}})\\)

同样的,解集同样至少包含零解

四个基本子空间的性质

对于一个mxn矩阵\\(A\\)来说:

  1. 行空间与零空间正交
  2. 列空间与左零空间正交
  3. dim \\(R(A)\\) + dim \\(Null(A)\\) = m,即行空间的维度+零空间的维度=行数
  4. dim \\(C(A)\\) + dim \\(Null(A^{\\mathrm{T}})\\) = n,即列空间的维度+左零空间的维度=列数

性质证明

要证明两个子空间正交,先来给定子空间正交的定义是什么:若(内积空间)的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交,那么它们互为正交子空间。其中内积空间是添加了内积运算的向量空间。

好吧,反正就是证明矩阵A对应的行空间中的每个向量都与零空间中每个向量正交即可。有mxn矩阵\\(A\\),将它写为下面这个形式:\\[ \\left[ \\begin{matrix} row & 1 & of & A \\\\ row & 2 & of & A \\\\ row & 3 & of & A \\\\ &\\ .\\\\ &\\ . \\\\ &\\ . \\\\ row & m & of & A \\end{matrix} \\right] \\]
我们要求\\(Ax = 0\\),让我们用上面这种形式写一遍:\\[ \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} row & 1 & of & A \\\\ row & 2 & of & A \\\\ row & 3 & of & A \\\\ &\\ .\\\\ &\\ . \\\\ &\\ . \\\\ row & m & of & A \\end{matrix} \\right] \\left[ \\begin{matrix} x_1\\\\ x_2\\\\ x_3\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ x_n \\end{matrix} \\right]=\\left[ \\begin{matrix} 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ 0 \\end{matrix} \\right] \\end{equation} \\]
所以,如果有一个向量\\(v\\)属于\\(Null(A)\\),显然,将\\(v\\)带入(1)式是成立的。所以A中的每一行,即每个行向量都与向量\\(v\\)都正交。而A的行空间是行向量们的线性组合,所以\\(v\\)与A的行空间是正交的。同理,对于\\(Null(A)\\)中的其他向量,也和\\(v\\)一样与A的行空间是正交。因此,足以证明A行空间与零空间正交。

同样的,可以证明A的列空间与左零空间正交,这里不再赘述。

举例

好吧,举个实际的例子,这样以后看到也能马上想起来,哦,确实是这样。
给出一个3x2的矩阵\\[A= \\left[ \\begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\end{matrix} \\right]\\]
这个矩阵是我胡编的,让我们分别求一下A对应的行空间、列空间、零空间以及左零空间

求解行空间

显然,在A矩阵里有两个行向量\\(\\overrightarrow{r_1}, \\overrightarrow{r_2}\\),它们分别是\\[ \\overrightarrow{r_1}=\\left[ \\begin{matrix} 2\\\\ 4\\\\ 1 \\end{matrix} \\right] \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\overrightarrow{r_2}=\\left[ \\begin{matrix} 3\\\\ 1\\\\ 2 \\end{matrix} \\right] \\]
它们线性无关,所以\\(\\overrightarrow{r_1}, \\overrightarrow{r_2}\\)可以作为行空间中的一组基。它俩张成了A的行空间,\\(R(A)\\)中的任意一个向量都可以表示为\\[ \\begin{equation} λ_1*\\left[ \\begin{matrix} 2\\\\ 4\\\\ 1 \\end{matrix} \\right]+ λ_2*\\left[ \\begin{matrix} 3\\\\ 1\\\\ 2 \\end{matrix} \\right],其中λ_1、λ_2是任意实数 \\end{equation} \\]
我们已经求得了A的行空间\\(R(A)\\)

求解列空间

显然,在A矩阵里有三个列向量\\(\\overrightarrow{r_1}, \\overrightarrow{r_2}, \\overrightarrow{r_3}\\),它们分别是\\[ \\overrightarrow{r_1}= \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 2\\\\ 3 \\end{matrix} \\right] \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\overrightarrow{r_2}=\\left[ \\begin{matrix} 4\\\\ 1 \\end{matrix} \\right] \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\overrightarrow{r_3}=\\left[ \\begin{matrix} 1\\\\ 2 \\end{matrix} \\right] \\end{equation}\\]
它们线性无关,所以\\(\\overrightarrow{r_1}, \\overrightarrow{r_2}, \\overrightarrow{r_3}\\)可以作为行空间中的一组基,张成了A的列空间,\\(C(A)\\)中的任意一个向量都可以表示为\\[ λ_1*\\left[ \\begin{matrix} 2\\\\ 3 \\end{matrix} \\right]+ λ_2*\\left[ \\begin{matrix} 4\\\\ 1 \\end{matrix} \\right]+ λ_3*\\left[ \\begin{matrix} 1\\\\ 2 \\end{matrix} \\right],其中λ_1、λ_2、λ_3是任意实数 \\]
我们已经求得了A的列空间\\(R(A)\\)

这里的行空间与列空间刚好由矩阵A的每行每列表示是因为我选的矩阵恰好是行满秩与列满秩,行空间由行向量组成的极大线性无关组表示,同理,列空间由列向量组成的极大线性无关组表示

求解零空间

那就是求解\\[ \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\end{matrix} \\right] \\left[ \\begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{matrix} \\right] =\\left[ \\begin{matrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{matrix} \\right] \\end{equation}\\]
使用高斯消元等到A矩阵的行最简形\\[ U=\\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} -1 & -3 & 1 \\\\ 0 & 10 & -1 \\end{matrix} \\right] \\end{equation} \\]
可以得到解的集合为\\[ x=k \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 14 \\\\ -1 \\\\ 10 \\end{matrix} \\right] \\end{equation} \\]

求解左零空间

将矩阵A转置有\\[ A^{\\mathrm{T}}= \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 2 & 3 \\\\ 4 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{matrix} \\right] \\end{equation} \\]
求解\\[ \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 2 & 3 \\\\ 4 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{matrix} \\right] \\left[ \\begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{matrix} \\right] =\\left[ \\begin{matrix} 0 \\\\ 0 \\end{matrix} \\right] \\end{equation}\\]
以我多年的做题经验(笑),这个应该只有零解。

总结

四个空间都求出来了,加加它们的维度也是满足之前给出的子空间的性质,不同空间对应的基包含的向量也是相互正交的。

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